Question

12．（1）如图①，△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E．判断△DOE的形状．并说明理由．
（2）将（1）中的条件“△ABC是等边三角形”，改为“在△ABC中，∠A=60°”，其余条件不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？

Answer 1

分析 （1）由△ABC为等边三角形，可得∠B=∠C=60°．又由OB=OC=OD=OE，即可证得△OBD，△OEC均为等边三角形，继而证得△ODE是等边三角形；
（2）首先连接CD，由BC为⊙O直径，可得∠BDC=90°，继而求得∠DOE=60°，则可证得结论．

解答 （1）△ODE为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OC=OD=OE，
∴△OBD，△OEC均为等边三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE为等边三角形．
故答案为：等边三角形．

（2）成立．
证明：如图，连接CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°．
∴∠DOE=60°，
∵OD=OE，
∴△DOE为等边三角形．

点评 此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质，此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．