Question

如图，抛物线y=ax²+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．

（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；

（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C₁恰好落在该抛物线上，求此时点C₁的坐标和m的值；

（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），

∴，

解得．

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣1）²+2，

∴对称轴是x=1，

∵1+（1+1）=3，

∴B点坐标为（3，0），

∴BC的中点坐标为（1.5，1）；

 

（2）∵线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C₁恰好落在该抛物线上，

∴点C₁的横坐标为﹣2，

当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）²+×（﹣2）+2=﹣，

∴点C₁的坐标为（﹣2，﹣），

m=2﹣（﹣）=5；

 

（3）①若BC为平行四边形的一边，

∵BC的横坐标的差为3，

∵点Q的横坐标为1，

∴P的横坐标为4或﹣2，

∵P在抛物线上，

∴P的纵坐标为﹣3，

∴P₁（4，﹣3），P₂（﹣2，﹣3）；

②若BC为平行四边形的对角线，

则BC与PQ互相平分，

∵点Q的横坐标为1，BC的中点坐标为（1.5，1），

∴P点的横坐标为1.5+（1.5﹣1）=2，

∴P的纵坐标为﹣×2²+×2+2=2，

∴P₃（2，2）．

综上所述，点P的坐标为：P₁（4，﹣3），P₂（﹣2，﹣3），P₃（2，2）．