Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60⁰，M是BC的中点．

(1)求证：⊿MDC是等边三角形；

(2)将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即M)与AB交于一点E，MC即M)同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成⊿AEF．试探究⊿AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q， 　　∵∠C＝∠B＝600 　　∴CP＝BQ＝AB，CP＋BQ＝AB　　(1分) 　　又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，故BC＝2AD， 　　由已知，点M是BC的中点， 　　BM＝CM＝AD＝AB＝CD　　(2分) 　　即⊿MDC中，CM＝CD，∠C＝600，故⊿MDC是等边三角形　　(3分) 　　(2)解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下： 　　连接AM，由(1)平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB，⊿MAD和⊿M是等边三角形， 　　∠BMA＝∠BME＋∠AME＝600，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝600 　　∴∠BME＝∠AMF　　(5分) 　　在⊿BME与⊿AMF中，BM＝AM，∠EBM＝∠FAM＝600 　　∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)　　(6分) 　　∴BE＝AF，ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB 　　∵∠EMF＝∠DMC＝600，故⊿EMF是等边三角形，EF＝MF　　(7分) 　　∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是． 　　⊿AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF， 　　⊿AEF的周长的最小值为2＋　　(8分)