Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB²=AP•AD．
（1）求证：AB=AC；
（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接BP，
∵AB²=AP•AD，∴，
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）知AB=AC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为的中点，
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，
∴BP为直径，
∴BP过圆心O，
∴BP=2，
∴AP=BP=1，
∴AB²=BP²-AP²=3，
∵AB²=AP•AD，
∴AD==3．
分析：（1）根据AB²=AP•AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边证明结论；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．
点评：掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30°的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度．