Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）24；（3）存在，y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；

（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．

试题解析：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，

抛物线的解析式y=﹣2x﹣3；

（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=﹣4，M点的坐标为（1，﹣4），

M′点的坐标为（1，4），设AM′的解析式为y=kx+b，

将A、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的解析式为y=2x+2，

联立AM′与抛物线，得，解得，

C点坐标为（5，12）．S△ABC=×4×12=24；

（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，

由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），

①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a﹣2，将A点坐标代入函数解析式，得

a﹣2=0，解得a=，

抛物线的解析式为y=－2，

②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a+2，将A点坐标代入函数解析式，得

a+2=0，解得a=﹣，抛物线的解析式为y=－+2，

综上所述：y=－2或y=－+2，使得四边形APBQ为正方形．