Question

如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图象相交于A（-1,4）、B（4，-1）两点，直线l⊥x轴于点E（-4,0），与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接AC、BC

（1）、求出b和k；
（2）、求证：△ACD是等腰直角三角形；
（3）、在y轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）3，-4；（2）证明见解析；（3）存在，P₁（0，），P₂（0，-）.

试题分析：（1）将已知点的坐标代入到两个函数的解析式即可求得k和b的值；
（2））根据直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，求得点D（-4，7），根据直线x=-4与反比例函数y=- 交于点C确定点C（-4，1），从而确定AD=AC，然后根据勾股定理的逆定理确定△ACD是直角三角形，从而确定△ACD是等腰直角三角形；
（3）过点A作AP₁∥BC，交y轴于P₁，则S_△PBC=S_△ABC，根据B（4，-1），C（-4，1）确定直线BC的解析式为y=-x，然后设直线AP₁的解析式为y=-x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=，求得P₁（0， ），作P₁关于x轴的对称点P₂，利用S_△P1BC＝S_△P2BCBC=S_△ABC，确定P₂（0，- ）；
试题解析：（1）解：∵一次函数y=-x+b的图象经过点A（-1，4）
∴-（-1）+b=4，
即b=3，
又∵反比例函数（k≠0）的图象经过点A（-1，4）
∴k=xy=（-1）×4=-4；
（2）证明：∵直线l⊥x轴于点E（-4，0）则直线l解析式为x=-4，
∴直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，则D（-4，7）
直线x=-4与反比例函数y=-交于点C，
则C（-4，1）
过点A作AF⊥直线l于点F，
∵A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）
∴CD=6，AF=3，DF=3，FC=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°，
由勾股定理得：AC=AD=3 
又∵AD²+AC²=(3)²+(3)²=36
CD²=6²=36
∴AD²+AC²=CD²
∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形；
（3）解：过点A作AP₁∥BC，交y轴于P₁，则S_△PBC=S_△ABC
∵B（4，-1），C（-4，1）
∴直线BC的解析式为y=-x
∵设直线AP₁的解析式为y=-x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=，
∴P₁（0，），
∴作P₁关于x轴的对称点P₂，则S_△P1BC＝S_△P2BCBC=S_△ABC，
故P₂（0，-）；即存在P₁（0，），P₂（0，-）.
考点: 反比例函数综合题