Question

【题目】如图1，已知抛物线的图象经过点，，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点在、间的抛物线上，连结，，求四边形面积与之间的函数关系式；

（3）如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或．

【解析】

（1）首先根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点坐标，然后根据两坐标设抛物线解析式，代入点A的坐标，即可得解；

（2）首先设，根据角平分线的性质得出△AOE是等腰直角三角形，然后将四边形分成两个三角形求解即可得出函数关系式；

（3）存在两种情况：如图所示，作辅助线构建全等三角形，根据，列方程即可得出点P的坐标.

（1）如图，设抛物线与轴的另一个交点为

由对称性得：

设抛物线的解析式为：

把代入得：

抛物线的解析式：

（2）如图，设

平分，

是等腰直角三角形

，

，

，

．

（3）分两种情况：

①当P在轴下方时，过点P作MN⊥轴，交轴于M，交对称轴于N，如图所示：

∵△POF是等腰直角三角形，且OP=PF

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN

∵

则

解得（舍去）或

∴点的坐标为

②当P在轴上方时，如图所示：

同理，得

解得或（舍去）

∴点的坐标为

综上，点的坐标为或.