Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝ ，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．

(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是　6　；

(2)若射线EF经过点C，则AE的长是　2或5　．

Answer 1

考点：    直角梯形；勾股定理；解直角三角形。

专题：    探究型。

分析：    (1)过E点作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG＝3，再根据∠DEG＝60°得出∠DEF＝120°，由tan60°＝ 即可求出GF的长，进而得出结论；

(2)过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝ ，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE＝x，则BE＝6－x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．

解答：    解：(1)如图1，过E点作EG⊥DF，

∵E是AB的中点，

∴DG＝3，

∴EG＝A D＝ ，

∴∠DEG＝60°，

∵∠DEF＝120°，

∴tan60°＝ ，

解得GF＝3，

∴DF＝6；21世纪教育网

(2)如图2所示：

过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝ ，

∵∠ABC＝120°，AB∥CD，

∴∠BCH＝60°，

∴CH＝ ＝ ＝1，BC＝ ＝ ＝2，

设AE＝x，则BE＝6－x，

在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ＝ ，

在Rt△EFM中，EF＝ ＝ ＝ ，

∵AB∥CD，

∴∠EFD＝∠BEC，

∵∠DEF＝∠B＝120°，

∴△EDF∽△BCE，

∴ ＝ ，即 ＝ ，

解得x＝2或5．

故答案为：2或5．

点评：    本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．