Question

阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若=，则有结论：MN=．
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP₁，PP₂，PP₃，交BC于点P₁，交AB于点P₂，交AC于点P₃．
（1）若点P为线段EF的中点．求证：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP₁，PP₂，PP₃的数量关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）如答图1所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由中位线性质得到FM=2PP₃，ER=2PP₂；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）如答图2所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由相似三角形比例线段关系得到：ER=PP₂；FM=PP₃；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP₁=PP₂+PP₃．
解答：（1）证明：如答图1所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．

点P为中点，由中位线的性质可知：ES=2PP₂，FN=2PP₃．
∴FM=2PP₃，ER=2PP₂．
在梯形FMRE中，FM∥PP₁∥ER，，
根据题设结论可知：
PP₁====PP₂+PP₃．
∴PP₁=PP₂+PP₃．

（2）探究结论：PP₁=PP₂+PP₃．
证明：如答图2所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．

点P为EF上任意一点，不妨设，则，．
∵PP₂∥ES，∴=，∴ES=PP₂；
∵PP₃∥FN，∴，∴FN=PP₃．
∴ER=PP₂；FM=PP₃．
在梯形FMRE中，FM∥PP₁∥ER，，
根据题设结论可知：
PP₁====PP₂+PP₃．
∴PP₁=PP₂+PP₃．
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．本题两问之间体现了由特殊到一般的数学思想，解题思路类似，并且同学们可仔细领会．