Question

如图，在平面直角坐标系中，已知等腰三角形AOB的底边OB=8，腰AO=AB=5．
（1）点A的坐标是

（4，3）

，点B的坐标是

（8，0）

；
（2）求直线AB的解析式；
（3）设直线AB与y轴的交点是点D，求点D的坐标；
（4）在y轴正半轴上是否存在点P，使△ADP是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过A作AQ垂直于x轴，可得出Q为OB中点，求出AQ与OQ的长，确定出A坐标，由OB的长求出B坐标即可；
（2）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（3）对于直线AB解析式，令x=0求出y的值，即可确定出D坐标；
（4）存在，如图所示，分三种情况考虑：当DA=DP₁，AD=DP₃，DP₂=AP₂，分别求出坐标即可．

解答：解：（1）过A作AQ⊥x轴，由△OAB为等腰三角形，得到Q为OB中点，
∵OB=8，
∴OQ=BQ=

1

2

OB=4，
∵AO=5，
∴根据勾股定理得：AQ=3，
∴A（4，3），B（8，0）；

（2）设直线AB解析式为y=kx+b，
将A与B坐标代入得：

4k+b=3 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直线AB解析式为y=-

3

4

x+6；

（3）令x=0，得到y=6，即D（0，6）；

（4）如图所示：当DA=DP₁=

(4-0)2+(3-6)2

=5时，由OD-P₁D=6-5=1，此时P₁（0，1）；
当DP₂=AP₂时，P₂为AD的垂直平分线与y轴的交点，
∵直线AD斜率为-

3

4

，∴直线P₂E斜率为

4

3

，
∵E为AD中点，∴E（2，

9

2

），
此时直线P₂E解析式为y-

9

2

=

4

3

（x-2），
令x=0，得到y=

11

6

，此时P₂（0，

11

6

）；
当AD=DP₃=5时，OP₃=OD+DP₃=6+5=11，此时P₃（0，11），
综上，P的坐标为（0，1）或（0，

11

6

）或（0，11）．
故答案为：（1）（4，3）；（8，0）

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．