Question

如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为（当点E，F分别与B，A重合时，记）．

（1）当时（如图2所示），求x，y的值（结果保留根号）； （2）当为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° x   0.03 0     0.29   y   0.29 0.13     0.03 （4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形． （参考数据：）

Answer 1

解：（1）如图1，过G作MN⊥AB于M，交CD于N， GK⊥BC于K， ∵∠ABG=60°，BG=1， ∴，， ∴，。
（2）当时，点G在对角线AC上，其理由是： 如图2，过G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q， 过G作JP∥AB交AD，BC于J，P， ∵AC平分∠BCD， ∴GP=GQ，∴GI=GJ， ∵GE=GF， ∴Rt△GEI≌Rt△GFJ， ∴∠GEI=∠GFJ， ∵∠GEF=∠GFE=60°， ∴∠AEF=∠AFE， ∵∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， 即时，点G落在对角线AC上， 当点G在对角线AC上时，有， 解得：， ∴。
（3）表格如下： 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° x 0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 y 0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13 （4）由点G所得到的大致图形如图所示： 。