Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，分别过C、D两点作CE⊥y轴、DF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接CF、DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③∠BAO=45°；④AC=BD．其中正确结论的序号是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①③④

Answer 1

A
分析：先证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S_△DFE=|x|•|y|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．
解答：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）．
∵由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=DF•OF=x•=k，
同理可得S_△CEF=k，
∴S_△DEF=S_△CEF，故①正确；
∵若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，
∴CD∥EF，即AB∥EF，
∴△AOB∽△FOE，故②正确；
∵a、b的值不能确定，
∴无法判断∠BAO的度数，故③错误；
∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，EF是公共边，
∴AC=EF=BD，
∴BD=AC，④正确；
故正确有3个：①②④．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、三角形的面积公式及平行四边形的判定与性质，先根据题意判断出CD∥EF是解答此题的关键．