题目内容

如图，在直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两边分别在x 轴和y轴上，直线L经过点O并将正方形分为两部分，它们的面积之比为m （m＜1）．
（1）当m= $数学公式$ 时，求直线L与正方形相交的另一交点坐标；
（2）若直线L的解析式为y=kx且k=m+1，直线L与正方形的另一个交点为E，点P在线段OE上（不含两端点），记 $数学公式$ ，求W的取值范围．

解：（1）如图1，当直线L与BC相交时，设交点D（a，2），则
S_△DOC=a，S_{四边形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，即D（ $\text{[math]}$ ，2），
当直线L与BC相交时，设交点D′，
依据正方形对称性可得D′点坐标为：（2， $\text{[math]}$ ）；

（2）如图2，
∵m＞0，k=m+1
∴k＞1，
∵y=kx
∴ $\text{[math]}$ 即y＞x
故点E在BC上，设为（b，2），
∴2=k•b，S_△EOC=b．
∴k= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =m+1，
∴m= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：b= $\text{[math]}$ ，
∴4-b= $\text{[math]}$ ，
∴m= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即E与D重合．此时直线L的解析式为 $\text{[math]}$ ．
设P（c，d），则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）当直线L与BC相交时，设交点D（a，2），则S_△DOC=a，S_{四边形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a，再利用m= $\text{[math]}$ 时求出a的值，再利用对称性得出另一点坐标；
（2）利用已知得出点E在BC上，设为（b，2），得出m与b的关系，进而得出m的值，得出D，E重合，由 $\text{[math]}$ ，求出W的取值范围．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及正方形的性质和一次函数解析式求法和不等式的应用，利用面积关系得出m的值是解题关键．