Question

【题目】已知，与两个角的角平分线相交于点．

（1）如图1，若，求的度数．

（2）如图2，若，，试写出与之间的数量关系并证明你的结论．

（3）若，，，请直接用含有，的代数式表示出．

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）∠BMD=（360°-∠E），证明见解析； （3）∠BMD=

【解析】

（1）过F点作FH∥AB，过E点作EG∥AB，根据平行线的传递性及平行线的性质可得∠ABE＋∠CDE＝360°－∠BED，根据平行线的性质可证∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，再根据角平分线的定义求解即可；

（2）过M点作MN∥AB，同一可得∠BMD＝∠ABM＋∠CDM，由（1）可得∠ABF＋∠CDF与∠BED的关系，再根据∠ABM =∠ABF，∠CDM=∠CDF即可求解；

（3）根据（2）中的过程进行推论，总结规律即可．

（１）过F点作FH∥AB，过E点作EG∥AB，如图：

∵

∴FH∥CD，EG∥CD

∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，∠ABF=∠BFH，∠HFD=∠FDC

∴∠ABE+∠BED+∠EDC=∠ABE+∠BEG+∠GED+∠EDC=360°，∠BFD=∠BFH+∠HFD=∠ABF+∠FDC

∴∠ABE+∠EDC =360°-∠BED

∵与两个角的角平分线相交于点．

∴∠ABF+∠FDC=（∠ABE+∠EDC）=（360°-∠BED）

∵∠BED=80°

∴∠BFD=∠ABF+∠FDC==140°

（2）∠BMD=（360°-∠E），证明：

过M点作MN∥AB，如图：

∵

∴MN∥CD，

∴∠ABM=∠BMN，∠NMD=∠MDC

∴∠BMD=∠BMN+∠NMD=∠ABM+∠MDC

由（1）得：∠ABF+∠FDC=（∠ABE+∠EDC）=（360°-∠E）

∵∠ABM =∠ABF，∠CDM=∠CDF

∴∠BMD=∠ABM+∠MDC=（∠ABF+∠FDC）=（360°-∠E）

（3）由（2）得：∠BMD=∠ABM+∠MDC，由（1）得：∠ABF+∠FDC=（360°-∠BED）

∵，

∴∠BMD=∠ABM+∠MDC=（∠ABF+∠FDC）=（360°-∠BED）=