Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．

【专题】压轴题．

【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．

（2）设出M点的坐标，利用S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB即可进行解答；

（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．

【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：

y=ax²+bx+c（a≠0），

将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：

解得，

所以此函数解析式为：y=；

 

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：（m，），

∴S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB

=×4×（﹣m²﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m²﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m²﹣4m，

=﹣（m+2）²+4，

∵﹣4＜m＜0，

当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2时S有最大值S=4．

 

（3）设P（x， x²+x﹣4）．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=﹣x，

则Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（x²+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2．

x=0不合题意，舍去．

如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．

【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．