Question

已知：三角形纸片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是边AC上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．
（1）设BE=x，B′C=y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质得BE=B′E=x，在Rt△EB'C中利用勾股定理得y²+（6-x）²=x²，整理后即可得到y关于x的函数关系式；
（2）根据含30度的直角三角形三边的关系得∠A=30°，由折叠的性质得到∠FB'E=∠B=60°，然后讨论：①当∠AFB'=90°时，则∠AB′F=60°，易得∠B'EC=30°，
则B′C=

1

2

B′E，即y=

1

2

x，把y代入得到关于x的方程，解方程求出满足条件的x的值；②当∠AB'F=90°时，则∠EB'C=30°，即有EC=

1

2

EB′，即6-x=

1

2

x，解方程即可．

解答：解：（1）∵三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，
∴BE=B′E，
∴B'E=x，CE=6-x，
在Rt△EB'C中，B'E²=CE²+B'C²，即y²+（6-x）²=x²，
∴y=

12x-36

=2

3x-9

（3≤x≤6）；

（2）∵∠C=90°，AB=12，BC=6，
∴∠A=30°，
∴∠FB'E=∠B=60°，
①当∠AFB'=90°时，则∠AB′F=60°，
∴∠EB'C=60°，
∴∠B'EC=30°，
∴B′C=

1

2

B′E，即y=

1

2

x，
∴2

3x-9

=

1

2

x，解得x=24±12

3

，
∵3≤x≤6，
∴x=24-12

3

；
②当∠AB'F=90°时，则∠EB'C=30°，
∴EC=

1

2

EB′，即6-x=

1

2

x，解得x=4，
所以x=4或24-12

3

时，△AFB’是直角三角形．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理．