Question

（2013•河南模拟）如图，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=90°，OA=OC=5，BC=3．以O为原点，OA、OC所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系．过A、B、C三点的抛物线交x轴的负半轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD交y轴于点E，连接AC交BD于点F，比较AE和AB的大小，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一点，判断有几个位置能够使点P到直线AC的距离等于BF的长，直接写出相应的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先写出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出点D的坐标，从而得到OD的长，过点B作BH⊥AD于H，然后求出DH=BH=5，从而判断出△BHD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BDH=45°，再求出∠OED=45°，然后求出OE=OD=2，再求出EC=3，得到BC=EC，再求出∠OCA=45°，∠BCA=45°，然后判断出AC是BE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明即可；
（3）先求出直线AC的解析式，再根据平行线间的距离相等，求出过点B、E与AC平行的直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可．

解答：解：（1）由题意知，A（5，0），B（3，5），C（0，5），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

25a+5b+c=0 9a+3b+c=5 c=5

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=5

，
所以，抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+5；

（2）AE=AB．
理由如下：令y=0，则-

1

2

x²+

3

2

x+5=0，
整理得，x²-3x-10=0，
解得x₁=-2，x₂=5，
∴点D（-2，0），OD=2，
过点B作BH⊥AD于H，
则BH=5，OH=3，
∴AH=5-3=2，DH=3+2=5，
∴DH=BH，
∴△BHD是等腰直角三角形，
∴∠BDH=45°，
∴∠OED=90°-45°=45°，
∴OE=OD=2，
∴CE=5-2=3，
∴BC=EC，
又∵OC=OA，
∴∠OCA=45°，
∴∠BCA=45°=∠OCA，
∴AC是BE的垂直平分线，
∴AE=AB；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

b=5 5k+b=0

，
解得

k=-1 b=5

，
所以，y=-x+5，
∵AC是BE的垂直平分线，
∴点P在过点B或点E与AC平行的直线上，
①易求过点B与AC平行的直线解析式为y=-x+8，
联立

y=-x+8 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+5

，
解得

x1=2 y1=6

，

x2=3 y2=5

（为点B坐标），
∴点P₁（2，6）；
②易求过点E与直线AC平行的直线解析式为y=-x+2，
联立

y=-x+2 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+5

，
解得

x1=-1 y1=3

，

x2=6 y2=-4

，
∴点P₂（-1，3），P₃（6，-4），
综上所述，点P的坐标为P₁（2，6），P₂（-1，3），P₃（6，-4）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，平行线间的距离相等的性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合题，但难度不是很大．