Question

已知m，n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n抛物线y=-x²+bx+c．的图象经过点A（m，0），B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴的另一交点为C，B为y轴抛物线的交点，若P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，从而得到点A、B的坐标，然后代入抛物线解析式，利用待定系数法求出b、c的值，即可得解；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后设点P的坐标为（a，0），设PH与BC相交于点D，根据直线的解析式与抛物线的解析式求出PD、HD的长度，然后根据三角形的面积公式可得边的比等于分成的两三角形的面积的比，再分①PD：DH=2：3，②DH：PD=2：3两种情况列式求解即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）x²-6x+5=0，
（x-1）（x-5）=0，
∴x-1=0，x-5=0，
解得x=1，x=5，
∵m，n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，
∴m=1，n=5，
∴点A、B的坐标为A（1，0），B（0，5），
∴

-1+b+c=0 c=5

，
解得

b=-4 c=5

，
抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）当y=0时，-x²-4x+5=0，
即x²+4x-5=0，
解得x₁=1，x₂=-5，
∴点C的坐标为（-5，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

b=5 -5k+b=0

，
解得

k=1 b=5

，
∴直线BC的解析式为y=x+5，
设PH与BC相交于点D，点P的坐标为（a，0），
则点D坐标为（a，a+5），点H坐标为（a，-a²-4a+5），
∴PD=a+5，DH=-a²-4a+5-（a+5）=-a²-5a，
∵直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，两三角形的高都是点C到PH的距离，
∴①PD：DH=2：3时，（a+5）：（-a²-5a）=2：3，
解得a=-1.5，
此时点P的坐标为（-1.5，0），
②当DH：PD=2：3时，（-a²-5a）：（a+5）=2：3，
解得a=-

2

3

，
此时点P的坐标为（-

2

3

，0），
综上所述，点P的坐标为（-1.5，0）或（-

2

3

，0）．

点评：本题是对二次函数的综合考查了，有待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求直线解析式，等高的三角形的面积的比等于底边的比，难度不大，仔细分析便不难求解．