Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）S阴影＝.

【解析】

（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，求出∠ABD=30°，得出∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD-S△BOD，即可求得答案．

（1）证明：连接OD，如图所示：

∵BC是⊙O的切线，

∴∠ABC＝90°，

∵CD＝CB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠ODC＝∠ABC＝90°，

即OD⊥CD，

∵点D在⊙O上，

∴CD为⊙O的切线；

（2）解：∵OF⊥BD，

∴BF＝BD＝2，OB＝ ＝ ＝4，

∴OF＝OB，

∴∠OBF＝30°，

∴∠BOF＝60°，

∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，

∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝ ﹣×4×2＝ ﹣4．