Question

如图3，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的

等边三角形，D为AB的中点。

（Ⅰ）求证：//平面

（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

（I)证法1：连结AC₁，设AC₁与A₁C相交于点E，连接DE，

则E为AC₁中点，

∵D为AB的中点，∴DE∥BC₁，

∵BC₁平面A₁CD，DE平面A₁CD，

∴BC₁∥平面A₁CD. -

【证法2：取中点，连结和，

∵平行且等于  ∴四边形为平行四边形

∴  ∵平面，平面

∴平面,分

同理可得平面

∵   ∴平面平面

又∵平面

∴BC₁∥平面A₁CD.

(II)

   

又    ，

又      面法一：设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.------------------9分

则，.

∴--------------------10分

平面的一个法向量

所以直线A₁D与平面CBB₁C₁所成角的正弦值为-------------------------------12分

【法二：取的中点，连结，则-------------------------------7分

∵面，故,

,面------9分

延长、相交于点，连结，

则为直线与平面所成的角. ------------------------------------10分

因为为的中点，故，又

即直线与平面所成的角的正弦值为.------------------------------12分】

【法三：取的中点，连结，则-------------------------------7分

∵面，故,

,平面------------------------------------------9分

取中点M，连结BM，过点M作，则平面，

连结BN，∵,

∴为直线与平面所成的角，---10分

∵,

即直线与平面所成的角的正弦值为.------------------------------12分】