Question

已知 x₁，x₂是关于x的一元二次方程（m-1）²x²-（2m-5）x+1=0的两个实数根．
（1）若p=

1

x1

+

1

x2

，求p的取值范围．
（2）问x₁，x₂能否同为正数？若能同为正数，求出m相应的取值范围；若不能同时为正数，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据一元二次方程和根的判别式得到得m-1≠0且△=（2m-5）²-4（m-1）²≥0，解得m≤

7

4

且m≠1；再根据根与系数的关系得到p=

x1+x2

x1•x2

=2m-5，
则m=

p+5

2

，所以

p+5

2

≤

7

4

且

p+5

2

≠1，然后解关于p的两个不等式求出公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=

2m-5

(m-1)2

，x₁•x₂=

1

(m-1)2

，利用2m-5≤-

3

2

可判断x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，所以x₁，x₂都是负数．

解答：解：（1）根据题意得m-1≠0且△=（2m-5）²-4（m-1）²≥0
解得m≤

7

4

且m≠1；
∵x₁+x₂=

2m-5

(m-1)2

，x₁•x₂=

1

(m-1)2

，
∴p=

x1+x2

x1•x2

=2m-5，
∴m=

p+5

2

，
∴

p+5

2

≤

7

4

且

p+5

2

≠1，
∴p≤-

3

2

且p≠-3；

（2）x₁，x₂不能同时为正数．理由如下：
∵x₁+x₂=

2m-5

(m-1)2

，x₁•x₂=

1

(m-1)2

，
而2m-5≤-

3

2

，
∴x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴x₁，x₂都是负数，
即x₁，x₂不能同时为正数．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的判别式．