Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

Answer 1

 证明：（1）在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15^o，

∴∠BAD=∠ABD=45^o-15^o=30^o，

∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，

∴∠DCA=∠DCB=45^o．

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30^o+30^o=60^o，

∠EDC=∠DAC+∠DCA=15^o+45^o=60^o，

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；  

（2）如图，连接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．                  

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，

∴ME=AD=DB．