已知:如图(1).在平行四边形ABCD中.对角线CA⊥BA.AB＝AC＝8cm.四边形A1B1C1D1是平行四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转45°得到的.A1D1经过点C.B1C1分别与AB.BC相交于点P.Q．(1)求四边形CD1C1Q的周长,(2)求两个平行四边形重合部分的四边形APQC的面积S,.将平行四边形A1B1C1D1以每秒1cm的速度向右匀速运动.当运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：如图(1)，在平行四边形ABCD中，对角线CA⊥BA，AB＝AC＝8cm，四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转45°得到的，A₁D₁经过点C，B₁C₁分别与AB、BC相交于点P、Q．
（1）求四边形CD₁C₁Q的周长；(保留无理数，下同)
（2）求两个平行四边形重合部分的四边形APQC的面积S；
（3）如图(2)，将平行四边形A₁B₁C₁D₁以每秒1cm的速度向右匀速运动，当运动到B₁C₁在直线AC上时停止运动．设运动的时间为x（秒），两个平行四边形重合部分的面积为y（cm²）．求y关于x的函数关系式，并探索是否存在一个时刻x，使得y取最大值，若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请你说明理由．

解：(1)由条件可知 △ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴ ∠BCA＝∠D₁＝45°，∴ CQ∥D₁C₁，∴ 四边形CD₁C₁Q是平行四边形．
∴ C₁D₁＝B₁A₁＝AB＝8,
CD₁＝A₁D₁－AC＝8－8．
∴ 四边形CD₁C₁Q的周长为 [(8－8)＋8]×2＝16(cm) ．
(2) 如图①，在等腰直角△A₁B₁P中，A₁B₁＝8，
∴ PA₁＝4，PQ＝BP＝8－4．
∴ 两个平行四边形重合部分的面积为
S＝＝(32－16)(cm²) ．
(3)当平行四边形A₁B₁C₁D₁运动到点C₁在BC上时，如图②，则C₁与Q重合，
这时运动距离为C₁H (如图①)， ∴C₁ H＝QC₁＝CD₁＝8－8
这时运动时间 x＝8－8．

①若0≤x≤8－8，如图③，AA₁＝x, AP＝4－x，
PQ＝BP＝AB－AP＝8－(4－x)＝x＋8－4, A₂C₂＝8－x．
y＝S_{四边形ABCD}－S_△BPQ－S_△A2C2D＝AB×AC－×BP²－×C₂D²
＝8×8－×(x＋8－4)²－×(8－x)²＝－x²＋4x＋32－16．
∵， 0＜＜8－8 ,
∴ 当x＝时，y_最大1＝32－8．
②若8－8≤x≤4,如图④, P C₁＝PA₁＝4, AA₁＝A₁A₂＝x，
C₂C₃＝C₂D₁＝8－8．
y＝S_{梯形A1PC1D1}－S_△AA1A2－S_△C2C3D1
＝＝－x²＋64－48．
∵ －＜0, ∴ 当x＞0时，随的增大而减小，
∴x在8－8≤x≤4范围内，也是随的增大而减小,
∴ 当x＝8－8时，y_最大2＝128－144．
∵ y_最大2＝128－144＝(32－8)＋(96－136)＝y_最大1＋8(12－17)
且8(12－17)＜0，∴ y_最大2＜y_最大1．（得出结论即可）
∴当x＝2秒时，y取最大值,这个最大值是(32－8)cm²．