Question

如图，△ABC中，BC=30，高AD=18，作矩形PQRS，使得P、S分别落在AB、AC边上，Q、R落在BC边上．
（1）求证：△APS∽△ABC； 
（2）如矩形PQRS是正方形，求它的边长；
（3）如AP：PB=1：2，求矩形PQRS的面积．

Answer 1

分析：（1）由四边形PQRS是矩形，可得PS∥QR，即可得：△APS∽△ABC；
（2）由矩形PQRS是正方形，可设PS=x，然后利用相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得方程

x

30

=

18-x

18

，解此方程即可求得答案；
（3）由相似三角形对应边成比例，即可求得PQ与PS的长，继而可求得矩形PQRS的面积．

解答：（1）证明：∵四边形PQRS是矩形，
∴PS∥QR，
即PS∥BC，
∴△APS∽△ABC；

（2）解：∵四边形PQRS是正方形，
∴PS=PQ=SR，PS∥QR，
∵AD是△ABC得高，
即AD⊥BC，
∴AM⊥PS，
即AM是△APS的高，
∵△APS∽△ABC，
∴

PS

BC

=

AM

AD

，
设PS=x，
∵BC=30，高AD=18，
∴AM=18-x，
∴

x

30

=

18-x

18

，
解得：x=

45

4

，
∴它的边长为：

45

4

；

（3）解：∵四边形PSRQ是矩形，
∴PQ⊥QR，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴PQ∥AD，
∴△PBQ∽△ABD，
∴PQ：AD=BP：BA，
∵AP：PB=1：2，
∴PQ=

2

3

AD=

2

3

×18=12，
∵△APS∽△ABC，
∴PS：BC=AP：AB=1：3，
∴PS=

1

3

BC=10，
∴矩形PQRS的面积为：PS•PQ=10×12=120．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．