Question

如图1,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)过O(0,0),A(8,0),B(2, 2)三点, 弧AB与OA交于C, 弧AB所在的圆的圆心点E，点P是弧AB上一动点.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)若OC=OB，试问点E是否在这条抛物线上？请说明理由;

(3)在(2)的条件下，是否存在这样的位置P和x轴上的一点M，使得△APB与△AMP相似，若存在请求出点M的坐标，若不存在说明理由.

Answer 1

解：（1）把O(0,0),代入抛物线解析式y=ax²+bx+c中, 得c=0              

  把A(8,0),B(2,2),分别代入抛物线解析式y=ax²+bx中,

                                                      

解得                                                   

所以这条抛物线解析式                                  

（2）∵OC=OB，∴点C(4.0)                                       

   AC的中垂线                                                

BC的中垂线                                             

则点E的坐标为，

当时，

则点E在抛物线上。                                                

（3）存在，△PBA的三个角分别为15°，45°，120°              

由

ⅰ.点P是弧BC的中点，

AM₁=AB，

则△APB∽△AP M₁

AB=8·=

OM₁=8-       ∴ M₁ (8-,0)

_{ⅱ.连结EP，}

∠PEA=90°,

AP=

       ∴ M₂ (8-,0)

ⅲ.P(6，-4+)，B(2，)

∠PM₃A=45°

OM₃=6-（4-）=2+       ∴M₃(2+,0)

ⅳ.∠PM₄A=120°

OM₄=（4-）+6-=4+    ∴M₄(4+,0)

综上，M₁ (8-,0)，M₂ (8-,0)， M₃(2+,0)，M₄(4+,0)