Question

两个全等的三角形ABC和DEF重叠在一起，△ABC的面积为3，且AB=CB，固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
（2）如图②，当D点B向右平移到B点时，试判断CE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠AEC=15°，求AB的长．

Answer 1

（1）过点C作CE⊥AB于点H，
由平移的性质可得：CF=AD，CF∥AB，
∴S_{四边形CDBF}=

1

2

（CF+BD）?CH=

1

2

（AD+BD）?CH=

1

2

AB?CH，
∵S_△ABC=

1

2

AB?CH=3，
∴S_{四边形CDBF}=3；

（2）CE⊥BF．
理由：由平移的性质可得：BE=CF，BE∥CF，
∴四边形CBEF是平行四边形，
∵AB=CB，AB=BE，
∴CB=BE，
∴?CBEF是菱形，
∴CE⊥BF；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，
∵CB=BE，∠AEC=15°，
∴∠BCE=∠AEC=15°，
∴∠ABC=∠AEC+∠BCE=30°，
∴在Rt△BCG中，CG=

1

2

CB，
∵AB=CB，
∴CG=

1

2

AB，
∴S_△ABC=

1

2

AB?CG=

1

4

AB²=3，
解得：AB=2

3

．