Question

如图1，将等腰直角三角形纸片ABC沿底边上的高CD剪开，得到两个全等的三角形△ADC，△BDC，已知AC=4．
（1）求AB的长；
（2）将△ADC绕点D顺时针旋转得到△A′DC′，DC′交BC于点E（如图2）．设旋转角为β（0°＜β＜90°）．当△DBE为等腰三角形时，求β的值．
（3）若将△DBC沿BA方向平移得到△D′B′C′（如图3），C′D′与AC交于点F，B′C′与DC交于点H．四边形DD′FH能否为正方形？若能，求平移的距离是多少；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根据勾股定理求出AB的长即可；
（2）分BD=BE，ED=BE及BD=DE三种情况进行讨论；
（3）设平移的距离为x，则BB′=DD′=x，DB′=2

2

-x  由四边形DD′FH为正方形可知DH=DB′=x，即2

2

-x=x，求出x的值即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+42

=4

2

；

（2）当BD=BE时，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=∠BED=67.5°，
∴β=90°-67.5°=22.5°；
当ED=BE时，
∵∠B=45°，
∴∠BED=45°，β=90°-45°=45°；
BD=DE不存在．

（3）设平移的距离为x，
∵BB′=DD′=x，
∴DB′=2

2

-x  
∵四边形DD′FH为正方形
∴DH=DB′=x，即2

2

-x=x，解得x=

2

．

点评：本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形及图形旋转的性质是解答此题的关键．