Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=90°，BC=BD，在AB上截取BE，使BE=BC，过点B作BF⊥AB于B，交CD于点F，连接CE，交BD于点H，交BF于点G．
（1）求证：EH=CG；
（2）已知AD=3，BC=2，求AB的长．

Answer 1

（1）∵BF⊥AB，∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠ABF=90°，
∴∠DBC-∠DBF=∠ABF-∠DBF
∴∠EBH=∠CBG，
∵BE=BC，
∴∠BEH=∠BCG，
∴△EBH≌△CBG，
∴EH=CG．

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，BD=BC=2，
∵AB²=AD²+BD²，
∴AB==．
分析：（1）根据∠BEH=∠BCG，又∠DBC=∠ABF=90°，可得：∠EBH=∠CBG，再根据AAS即可证明△EBH≌△CBG，即可求证；
（2）在直角△ABD中，利用勾股定理即可求解．
点评：本题主要考查了三角形全等的应用，以及勾股定理，把梯形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．