Question

7．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于点A（1，5）和点B，与y轴相交于点C（0，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）现有一直线l与直线y=kx+b平行，且与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象在第一象限有且只有一个交点，求直线l的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）由点A（1，5）在y=$\frac{m}{x}$的图象上，得到5=$\frac{m}{1}$，解得：m=5，于是求得反比例函数的解析式为y=$\frac{5}{x}$，由于一次函数y=kx+b的图象经过A（1，5）和点C（0，6），列$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，于是得到一次函数的解析式y=-x+6；
（2）设直线l的函数解析式为：y=-x+t，由于反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象在第一象限有且只有一个交点，联立方程组，化简得：x²-tx+5=0，得到△=t²-20=0，同时解得t=2$\sqrt{5}$，求得结果．

解答 解：（1）∵点A（1，5）在y=$\frac{m}{x}$的图象上，∴5=$\frac{m}{1}$，解得：m=5，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{5}{x}$，
∵一次函数y=kx+b的图象经过A（1，5）和点C（0，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-x+6；
（2）设直线l的函数解析式为：y=-x+t，
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象在第一象限有且只有一个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{x}}\\{y=-x+t}\end{array}\right.$，化简得：x²-tx+5=0，
∴△=t²-20=0，
解得：t=±2$\sqrt{5}$，
∵t=-2$\sqrt{5}$不合题意，
∴直线l的函数解析式为：y=-x+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，认真审题弄清题意是解题的关键．