题目内容

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点 D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD 于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）。
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。
解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP=AM
∴10-2t=2t，
解得。
∴当时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）过P作PE⊥AC，交AC于E，
∵ PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ是等腰三角形，
∴PQ=PB=t，
∴，
∴FD=BD-BF=8-，
又∵MC=AC-AN=10-2t，
∴，
∴y与t之间的函数关系式为：；
（3）∵S△ABC=，
∴当时，，
即，
解得，（舍去），
∴当时，S四边形PQCM=S△ABC；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB，交AB于H，
则△AHM∽△ADB，
∴，
又，
∴，
∴，
在Rt△HMP中，，
又∵，
由得，
解得：（舍去），
∴当时，点M在线段PC的垂直平分线上。
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（　　）
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1
2
B、（
2
2
）7
C、
1
4
D、
1
8
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