题目内容

如图，直线PB切⊙O于点B，PO交⊙O于点C，若PB= $数学公式$ ，PC=2，则∠BAC为

A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
60°

B
分析：连接BC，设⊙O的半径是x，由于BP是切线，可知∠OBP=90°，在Rt△OBP中，利用勾股定理可得x²+（2 $\text{[math]}$ ）²=（x+2）²，可求x，易知BC是直角三角形斜边的中线，从而有OB=OC=BC，那么△OBC是等边三角形，则∠OBC=60°，易求∠CBP，利用弦切角定理可求∠A．
解答：

解：如右图所示，连接BC，
设⊙O的半径是x，∵BP是切线，∴∠OBP=90°，
在Rt△OBP中，有x²+（2 $\text{[math]}$ ）²=（x+2）²，
解得x=2，
∴OC=CP，
∴BC= $\text{[math]}$ OP=2，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠CBP=90°-60°=30°，
∴∠A=∠CBP=30°．
故选B．
点评：本题考查了切线的性质、解方程、等边三角形的判定和性质、弦切角定理．解题的关键是连接BC，证明△OBC是等边三角形．