Question

6．如图（1），AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=a°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

解答 解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BD=AC=4，
∵AB=5，
∴BP=5-1=4=AC，
又∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠A=∠B}\\{AC=BP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，
∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；

（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
∴4=5-t，t=xt，
解得t=1，x=1，
∴存在x=1，t=1，使得△ACP与△BPQ全等；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
∴t=5-t，4=xt，
解得t=2.5，x=$\frac{8}{5}$，
∴存在t=2.5，x=$\frac{8}{5}$，使得△ACP与△BPQ全等；
综上所述，存在x=1，t=1或t=2.5，x=$\frac{8}{5}$，使得△ACP与△BPQ全等．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．