题目内容
如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.
(1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；
(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。
解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABQ=180°
∴∠ABQ=∠ADP =90°
∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°
∴∠QAB+ ∠BAP=90°
又∵∠PAD+∠BAP=90°
∴∠PAD=∠QAB
在△ADP与△ABQ中
∵
∴△ADP∽△ABQ
（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC ∴
∵点M是PQ的中点 ∴
∴
又∵
∴
∵△ADP∽△ABQ
∴
∴
∵
∴
在Rt△MBN中，由勾股定理得：
即：
当
即
时，线段BM长的最小值
.
(3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10
由△ADP∽△ABQ得
解得：
∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，
当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：
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| ||
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| ||
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