Question

将一副直角三角板按如图1所示方式摆放，其中∠ACB=∠BAD=90°，∠ADB=60°，∠BAC=45°，AC与BD相交于点O．
（1）求∠AOB的度数；
（2）把△ABC固定不动，将△ABD绕着点A顺时针旋转一个大小为α（0°＜α＜90°）的角，旋转后的点B记为点B′．
①当α为多少度时，∠AOB′为直角？（如图2）
②连接B B′，四边形ACB B′可能为轴对称图形吗？如果可能，请在图3中画出示意图，并求出此时角α的度数；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得∠CBO，然后利用三角形外角的性质求得∠AOB的度数；
（2）若∠AOB′=90°，可以证得：BD∥BC，然后根据平行四边形的性质即可求得；
（3）根据C=CB，因而当△ADB′的点B′旋转到AB的垂直平分线上，那么四边形AB′BC就是轴对称图形．

解答：解：如图1，
（1）∵∠CBO=45°-30°=15°，∠C=90°，
∴∠AOB=∠CBO+∠C=15°+90°=105°；

（2）如图2，
∵∠AOB′=90°，∠C=90°，
∴∠AOB′=∠C，
∴BD∥BC，
∴∠AEO=∠B=45°，
∴∠EAB′=∠AEO-∠B′=45°-30°=15°，
∴α=15°；

（3）当△ADB′的点B′旋转到AB的垂直平分线上，那么四边形AB′BC就是轴对称图形．
∴AB′=BB′=AB，
∴∠BAB′=60°，
∴α=60°．

点评：本题考查了平行线的性质，以及轴对称图形的性质，正确理解轴对称图形的性质是解题的关键．