Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC相交于E，此时Rt△AEP∽Rt△ABC，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，EP:EM=12:13.

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A，C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

 

Answer 1

（1）CM=26；（2）y=50-x，0<x<32

【解析】

试题分析：（1）先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值；

（2）先根据sin∠EMP=，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出x的取值范围．

解： （1）∵∠ACB=90°，

∴，

∵CP⊥AB，

∴

∴，

∴CP=24，

∴；

（2）∵sin∠EMP=，

∴设EP=12a，则EM=13a，PM=5a，

∵EM=EN，

∴EN=13a，PN=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴，

∴，

∴x=16a，

∴，

∴BP=50-16a，

∴y=50-21a=50-21×=50-

∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32．

∴x的取值范围是：（0＜x＜32）.