Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=CD=12，E是边CD上一点，∠BAE=45°，BE、AD的延长线交于点F，若BE=10，则DF的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由条件直接证明三角形全等就可以得出AE=AH．然后可以证明△ABE≌△ABH，可以得出BE=BH，可以得出BE=BG+ED．过点A作AG⊥BC交CB的延长线于点G，延长BG使GH=DE，从而运用BE=BG+ED可以表示出DE、BE、BG，由勾股定理就可以求出DE的值，然后根据三角形相似，求得DF长．

解答：
解：过点A作AG⊥BC交CB的延长线于点G，延长BG使GH=DE，连结AH．
在Rt△ADE与Rt△AGH中 

DE=GH AD=AG

∴Rt△ADE≌Rt△AGH（HL），
∴∠GAH=∠DAE，AH=AE，
∵AG⊥BC，∠BAE=45°，
∴∠BAH=∠BAE=45°，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠C=90°，∠ADC=90°，AD=DC，
∴四边形AGCD是正方形．
在△ABE与△ABH中

AH=AE ∠BAH=∠BAE AB=AB

∴△ABE≌△ABH（SAS），
∴BE=BH=BG+GH=BG+DE，
设DE=x，则CE=12-x，BC=12-（10-x）=2+x，
在Rt△BCE中
BE²=BC²+CE²，
10²=（2+x）²+（12-x）²，
解得：x=4或x=6，
当x=4时，
∴CE=12-x=8，
BC=2+x=6，
∵AD∥BC，
∴

DF

BC

=

DE

EC

∴DF=

DE

EC

×BC=3．
当x=6时，
同理可得CE=6，BC=8，
∴DF=

DE

EC

×BC=8．
故答案为：3或8．

点评：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用及直角梯形的性质，学生熟练掌握这些性质定理是正确解答的基础．