题目内容

已知如图：点（1，3）在函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）求点C的横坐标；（用m表示）
（3）当∠ABD=45°时，求m的值．

解：（1）由函数y= $\text{[math]}$ 图象过点（1，3）则可把点（1，3）坐标代入y= $\text{[math]}$ 中，得k=3；

（2）解：连接AC，则AC过E，过E做EG⊥BC交BC于G点
∵点E的横坐标为m，E在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，

∴E的纵坐标是y= $\text{[math]}$ ，
∵E为BD中点，
∴由平行四边形性质得出E为AC中点，
∴BG=GC= $\text{[math]}$ BC，
∴AB=2EG= $\text{[math]}$ ，
即A点的纵坐标是 $\text{[math]}$ ，
代入双曲线y= $\text{[math]}$ 得：A的横坐标是 $\text{[math]}$ m，
∴OB= $\text{[math]}$ m，
即BG=GC=m- $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ m，
∴CO= $\text{[math]}$ m+m= $\text{[math]}$ m，
∴点C（ $\text{[math]}$ m，0）．

（3）当∠ABD=45°时，AB=AD，则有 $\text{[math]}$ =m，即m²=6，
解之m₁= $\text{[math]}$ ，m₂=- $\text{[math]}$ （舍去），
∴m= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可；
（2）BG=CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入求出A的横坐标，求出BG和CG，求出OC，即可求出答案；
（3）∠ABD=45°时，AB=BD，把（2）中的代数式代入即可求解．
点评：若函数过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．另外，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等．