Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，AB=1，∠ABC是锐角．点E在CD上，且AE⊥EB，设∠ABE=x，∠EBC=y．则sin（x+y）=

 

．（用x、y的三角函数表示）

Answer 1

分析：过点A作AH⊥BC交BC于H，则可求出sin（x+y）=DC，由已知条件再依次表示出sinx，cosx，siny，cosy．因为∠AEB=90°，∠C=∠D=90°所以可判定△ADE∽△EBC，有相似的性质可得∴

AE

BE

=

DE

BC

，结合以求出的条件可得问题答案．

解答：解：过点A作AH⊥BC交BC于H，
∵∠C=∠D=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AH=DC．
在Rt△AHB中，sin∠ABH=

AH

AB

，AB=1，
∴sin（x+y）=AH=DC．
在Rt△EBC中，siny=

CE

BE

，cosy=

BC

BE

，
∵AE⊥EB，
∴∠AEB=90°．
∴∠AED+∠BEC=90°．
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠BEC．
∴△ADE∽△EBC．
∴

AE

BE

=

DE

BC

∴AE•BC=DE•BE．
∵在Rt△AEB中，sinx=

AE

AB

=AE，cosx=

BE

AB

=BE．
∴sinxcosy=

AE

AB

•

BC

BE

=

AE•BC

BE

．
∴cosx•siny=BE•

CE

BE

=CE．
∴sinxcosy+cosx•siny=

AE•BC

BE

+CE．
=

DE•BE

BE

+CE．
=DE+CE=DC．
∴sin（x+y）=sinxcosy+cosx•siny．
故答案为：sinxcosy+cosx•siny．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的定义，解决此类题目的关键是作高线构造直角三角形．