Question

（2012•三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=

1

2

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：

BF

PE

=

1

2

，并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求

BF

PE

的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，证得∠GBO=∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE；
（2）首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=

1

2

BM．则可求得

BF

PE

的值；
（3）首先过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由（2）同理可得：BF=

1

2

BM，∠MBN=∠EPN，继而可证得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得

BF

PE

的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中，
∵

∠GBO=∠EPO OB=OP ∠BOG=∠COE

，
∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）解：猜想

BF

PE

=

1

2

．
证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中，
∵

∠MBN=∠NPE NB=NP ∠MNB=∠PNE=90°

，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM=PE．
∵∠BPE=

1

2

∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°．
在△BPF和△MPF中，

∠BPF=∠MPF PF=PF ∠PFB=∠PFM

，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．                                        
∴BF=MF． 
即BF=

1

2

BM．
∴BF=

1

2

PE．
即

BF

PE

=

1

2

；

（3）解法一：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
由（2）同理可得：BF=

1

2

BM，∠MBN=∠EPN，
∵∠BNM=∠PNE=90°，
∴△BMN∽△PEN．
∴

BM

PE

=

BN

PN

．
在Rt△BNP中，tanα=

BN

PN

，
∴

BM

PE

=tanα．
即

2BF

PE

=tanα．
∴

BF

PE

=

1

2

tanα．               

解法二：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴BO⊥PM，∠BPN=∠ACB=α，
∵∠BPE=

1

2

∠ACB=

1

2

α，PF⊥BM，
∴∠EPN=

1

2

α．∠MBN=∠EPN=∠BPE=

1

2

α．
设BF=x，PE=y，EF=m，
在Rt△PFB中，tan

α

2

=

BF

PF

，
∵PF=PE+EF=y+m，
∴x=（y+m）tan

α

2

，
在Rt△BFE中，tan

α

2

=

EF

BF

=

m

x

，
∴m=x•tan

α

2

，
∴x=（y+xtan

α

2

）•tan

α

2

，
∴x=y•tan

α

2

+x•tan²

α

2

，
∴（1-tan²

α

2

）x=y•tan

α

2

，
∴

x

y

=

tan α 2

1-tan2 α 2

．
即

BF

PE

=

tan α 2

1-tan2 α 2

．

解法三：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BNP=∠BOC=90°．
∴∠EPN+∠NEP=90°．
又∵BF⊥PE，
∴∠FBE+∠BEF=90°．
∵∠BEF=∠NEP，
∴∠FBE=∠EPN，
∵PN∥AC，
∴∠BPN=∠BCA=α．
又∵∠BPE=

1

2

∠ACB=

1

2

α，
∴∠NPE=∠BPE=

1

2

α．
∴∠FBE=∠BPE=∠EPN=

1

2

α．
∵sin∠FPB=

BF

BP

，
∴BP=

BF

sin α 2

，）
∵cos∠EPN=

PN

PE

，
∴PN=PE•cos

α

2

，
∵cos∠NPB=

PN

BP

，
∴PN=BP•cosα，
∴EP•cos

α

2

=BP•cosα，
∴EP•cos

α

2

=

BF

sin α 2

•cosα，
∴

BF

PE

=

sin α 2 •cos α 2

cosα

．

点评：此题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识．此题综合性很强，难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．