Question

若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE=6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：分类讨论

分析：分两种情况进行分析，①当BF如图位置时，②当BF为BG位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM的长．

解答：解：如图，当BF如图位置时，
∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM，AF=BE=6，
∵AB=8，BE=6，
∴AE=

AB2+BE2

=

82+62

=10，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=4，SM是△ABF的中位线，
∴SM=

1

2

BE=

1

2

×6=3，
∴BM=

1

2

AE=

1

2

×10=5，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG=AE=10，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH=

24

5

．

点评：此题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．