Question

如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线D-C-B方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．
（1）若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？
（2）动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN过此交点，请求出运动的时间；如果线段MN不过此交点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为按照N的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，N一直在AD上运动，当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即M在E的右边和M在E的左边，根据平行四边形的性质得出方程，求出方程的解即可．
（2）能过矩形对角线的交点，求出AN=CM，得出方程10-t=2t-5，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵点N只在AD上运动，
∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，
即2.5＜t＜7.5，
设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：
①当M点在E点右侧，
如图：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，
∵DN=t，CM=2t-5，
∴AN=10-t，EM=10-4-（2t-5），
∴10-t=10-4-（2t-5），
解得：t=1，
∵2.5＜t＜7.5，
∴t=1舍去，
②当M点在B点与E点之间，如图，
则MC=2t-5，BM=10-（2t-5）=15-2t，
∴ME=4-（15-2t）=2t-11，
2t-11=10-t，解得t=7，此时符合，
∴当t=7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；
（2）动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠NAO=∠MCO，
在△ANO和△CMO中

∠NAO=∠MCO AO=OC ∠AON=∠COM

∴△ANO≌△CMO（ASA），
∴AN=CM，
设N运动的时间是t秒，则10-t=2t-5，
解得：t=5，
即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．

点评：本题主要考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，本题难度较大，点的运动会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用．