题目内容

如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为

A.
2.4
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：如图，取AB的中点D．连接CD．根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．
解答：

解：如图，取AB的中点D，连接CD．
∵△ABC是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=1，
∵点D是AB边中点，
∴BD= $\text{[math]}$ AB=1，
∴CD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即CD= $\text{[math]}$ ；
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
由（1）得，CD= $\text{[math]}$ ，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD= $\text{[math]}$ =1，
∴OD+CD=1+ $\text{[math]}$ ，即OC的最大值为1+ $\text{[math]}$ ．
故选：C．
点评：此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．