Question

如图，菱形ABCD的对角线AC长8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，PM+PN的最小值是5，则菱形的边长等于____________。

 

 

Answer 1

【答案】

5

【解析】

试题分析：首先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形PMBN为菱形，即可求出MP+NP=BM+BN=BC=5．

作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．

∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，

∴M′是AD的中点，

又N是BC边上的中点，

∴AM′∥BN，AM′=BN，

∴四边形AM′NB是平行四边形，

∴PN∥AB，

又N是BC边上的中点，

∴P是AC中点，

∴PM∥BN，PM=BN，

∴四边形PMBN是平行四边形，

∵BM=BN，

∴平行四边形PMBN是菱形．

∴MP+NP=BM+BN=BC=5．

故答案为5．

考点：本题考查的是菱形的性质和轴对称

点评：解答本题的关键是判断当PMBN为菱形时，MP+NP有最小值。