Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标是，现有两动点， ，点从点出发沿线段（不包括端点，）以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，点从点出发沿线段（不包括端点，）以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动．点，同时出发，同时停止．设运动时间为（秒），当（秒）时，．

（1）求点的坐标，并直接写出的取值范围；

（2）连接并延长交轴于点，把沿翻折

交延长线于点，连接，则的面积

是否随的变化而变化？若变化，求出与的函数关系式；

若不变，求出的值．

（3）在（2）的条件下，为何值时，四边形是梯形？

Answer 1

解答：

解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4．

（2）结论：△AEF的面积S不变化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，

∴，即，解得CE=．

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t．

S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE

=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE

=×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）

化简得：S=32为定值．

所以△AEF的面积S不变化，S=32．

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，

∴，即，化简得t²﹣12t+16=0，

解得：t₁=6+2，t₂=6﹣2，

由（1）可知，0＜t＜4，∴t₁=6+2不符合题意，舍去．

∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．