Question

【题目】如图，直线y=x+8与x轴交于A点，与y轴交于点B，动点P从A点出发，以每秒2个单位速度沿射线AO匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动的时间为t（秒）．

（1）用t的代数式表示AP= ，AQ=

（2）当t为何值时，PQ∥OB？

（3）若点C为平面直角坐标系内一点，是否存在t值，使得以A、P、Q、C为顶点的四边形为菱形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为，，．

【解析】

（1）根据题意，先求出点A和点B的坐标，得到AB的长度，根据路程=速度时间，即可表示出AP和BQ；

（2）由（1）可知AP和AQ，然后利用平行线分线段成比例，即可求出t的值；

（3）分三种情形列出方程求解：①当，作，，可得菱形；②当时，作，，可得菱形；③当时，作，，可得菱形；分别求出点Q的坐标即可.

解：（1）根据题意，令，则，解得；

令时，，

∴，，

∴点，；

在中，由勾股定理得，，

∵点的速度是每秒2个单位，点的速度是每秒1个单位，

∴，，

故答案为：，；

（2）若，如图：

∴，

∵，

∴，解得：；

（3）①如图中，当，作，，可得菱形．

∵，

∴，

∴．

设点Q为（，），

∴，

解得：，

∴，

∴此时；

②如图中，当时，作，，可得菱形，连接交于．

∵四边形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

与①同理可求点Q的坐标，

∴此时．

③如图中，当时，作，，可得菱形，连接交于．

∵四边形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

与①同理可求点Q的坐标，

∴此时．

综上所述，满足条件的点的坐标为：，，．