Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接DO；
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；

（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC²=BD•BA，
∴（2EC）²=BD•BA，即BA•2=36，
∴BA=3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC===3．
分析：（1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知点E是边BC的中点；
（2）解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．