Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，AD是直径，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于E，如果CE=

6

3

，AB=2，则BC=

 

．

Answer 1

分析：连DC，过A点作AF⊥BC，由∠B=60°，得∠ADC=60°，再由AD为直径，DE为⊙O的切线，可得∠ADE=90°，∠DCE=90°，∠DAE=30°，
由CE=

6

3

，利用含30度的直角三角形的三边的关系即可求得DC=

3

EC=

3

×

6

3

=

2

，AD=2

2

，AC=

3

×

2

=

6

，而AB=2，由此可得到△OAB为等要直角三角形，则∠AOB=90°，∠ACB=45°；在Rt△ACF中，AC=

2

CF，所以CF=

2

2

×

6

=

3

，在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=

1

2

×2=1，于是得到BC的长．

解答：解：连DC，OB，过A点作AF⊥BC，如图，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
又∵DE为⊙O的切线，
∴∠ADE=90°，
而AD为直径，
∴∠DCE=90°，则∠DAE=30°，
∵CE=

6

3

，
∴DC=

3

EC=

3

×

6

3

=

2

，
∴在Rt△ADC中，AD=2

2

，AC=

3

×

2

=

6

，
在△OAB中，OB=OA=

2

，AB=2，所以△OAB为等要直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=45°，
在Rt△ACF中，AC=

2

CF，所以CF=

2

2

×

6

=

3

，
在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=

1

2

×2=1，
所以BC=BF+FC=

3

+1．
故答案为

3

+1．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．以及含30度的直角三角形的三边的关系和等腰直角三角形三边的关系．