Question

【题目】如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？
（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，

∴CD⊥AB，AD=DB= AB=6cm，

∴Rt△ACD中，CD= =8cm

（2）解：分两种情况：

①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，

∴△APD∽△ADC，

∴ = ，即 = ，

解得t=1.8，

②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，

∴t= =5，

综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形

（3）解：分三种情况：

①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE= AD=3，

∵PE∥CD，

∴△APE∽△ACD，

∴ = ，即 = ，

解得t= ；

②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t= =3；

③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF= AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，

∴△AFD∽△ADC，

∴ = ，即 = ，

解得t=3.6，

综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形

【解析】（1）根据AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，运用等腰三角形的性质，求得AD的长，再根据勾股定理求得CD即可；（2）分两种情况进行讨论：当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，分别根据相似三角形的性质进行求解即可；（3）分三种情况进行讨论：当PA=PD时，当AP=AD时，当AD=PD时，分别作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例，求得t的值即可．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．