Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于E，D为AC的中点，连DE，BD与OE相交于F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB=10，OF=2，求BE的长．

Answer 1

证明：（1）连接OD；
∵O、D分别是AB、AC的中点，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，∠DOE=∠BEO；
∵OB=OE，
∴∠AOD=∠DOE，
∵OA=OE，OD=OD，
∴△OAD≌△OED，
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴DE为⊙O的切线．

（2）∵OF=2，OE=5，
∴EF=3；
∵OD∥BC，OD=BC，
∴OD：BE=OF：EF=2：3；
设DO=2k，BE=3k，
则BC=4k，EC=k，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=∠C，又∠OAD=∠AEC=90°，
∴△OAD∽△EAC，
设AD=x，则AC=2k，
∴=，即=，
∴x=k，则AC=2x=2k，
又AB²+AC²=BC²，
即10²+（2k）²=（4k）²，得k=，
则BE=3k=．
分析：（1）连接OD，证AD=DE，证△OAD≌△OED，∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）由）OF=2，OE=5可求EF=3，设DO=2k，BE=3k，则BC=4k，EC=k可求AC=2k，由勾股定理解得BE．
点评：本题考查了切线的判定，勾股定理和三角形全等的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．