题目内容
（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2=BM2+DN2，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．
①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是 ；
②如图3，当∠BAC=α，（0°＜α＜90°），∠DAE=
α时，BD、DE、EC应满足的等量关系是 ．[参考：sin2α+cos2α=1】
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2=BM2+DN2，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．
①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是
②如图3，当∠BAC=α，（0°＜α＜90°），∠DAE=
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考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）如图1，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM=∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N，由勾股定理就可以得出结论MN2=DN2+BM2；
（2）①如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=
CF，GF=
CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论；
②如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论；
（2）①如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=
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②如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论；
解答：解：（1）如图1，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABM=∠ADN=45°．
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．
∴△ABM≌△ADM′，
∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，
即∠NDM′=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAM′+∠DAF=45°，
即∠M′AN=45°，
∴∠M'AN=∠MAN．
在△AMN和△AM′N中
，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴M'N=MN．
∵∠NDM′=90°，
∴M'N2=DN2+DM'2，
∴MN2=DN2+BM2；
（2）①BD、DE、EC关系式为：DE2=BD2+BD•EC+EC2．
理由：如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∴∠ACF=60°，
∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，
即∠ECF=120°，
∴∠FCG=60°，
∴∠CFG=30°，
∴CG=
CF，
在Rt△CFG中，由勾股定理，得
FG=
CF．
∵∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠CAF+∠EAC=30°，
即∠EAF=30°．
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中
，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF2=EG2+FG2，
∴EF2=（EC+CG）2+（
CF）2，
∴EF2=（EC+
CF）2+
CF2，
=EC2+EC•CF+
CF2+
CF2，
=CE2+EC•CF+CF2，
∴DE2=CE2+EC•BD+BD2．
故答案为：DE2=CE2+EC•BD+BD2；
②BD、DE、EC等量关系是：DE2=BD2+2cosα•BD•EC+EC2．
理由：把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，
∴∠BAC=∠FCG=α
∴∠ACF=60°，
∴CG=cosα•CF，FG=sinα•CF．
∵∠DAE=
α，
∴∠BAD+∠CAE=
α．
∴∠CAF+∠CAE=
α，
即∠EAF=
α，
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中
，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF2=EG2+FG2，
EF2=（EC+CG）2+（sinα•CF）2，
∴EF2=（CE+cosα•CF）2+sin2α•CF2，
=CE2+2CE•CF•cosα+cos2α•CF2+sin2α•CF2，
=CE2+2CE•CF•cosα+（cos2α+sin2α）CF2．
∵sin2α+cos2α=1，
∴DE2=BD2+2cosα•BD•EC+EC2．
故答案为：DE2=BD2+2cosα•BD•EC+EC2．
∴∠ABM=∠ADN=45°．
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．
∴△ABM≌△ADM′，
∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，
即∠NDM′=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAM′+∠DAF=45°，
即∠M′AN=45°，
∴∠M'AN=∠MAN．
在△AMN和△AM′N中
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∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴M'N=MN．
∵∠NDM′=90°，
∴M'N2=DN2+DM'2，
∴MN2=DN2+BM2；
（2）①BD、DE、EC关系式为：DE2=BD2+BD•EC+EC2．
理由：如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∴∠ACF=60°，
∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，
即∠ECF=120°，
∴∠FCG=60°，
∴∠CFG=30°，
∴CG=
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在Rt△CFG中，由勾股定理，得
FG=
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∵∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠CAF+∠EAC=30°，
即∠EAF=30°．
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中
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∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF2=EG2+FG2，
∴EF2=（EC+CG）2+（
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∴EF2=（EC+
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=CE2+EC•CF+CF2，
∴DE2=CE2+EC•BD+BD2．
故答案为：DE2=CE2+EC•BD+BD2；
②BD、DE、EC等量关系是：DE2=BD2+2cosα•BD•EC+EC2．
理由：把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，
∴∠BAC=∠FCG=α
∴∠ACF=60°，
∴CG=cosα•CF，FG=sinα•CF．
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∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中
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∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF2=EG2+FG2，
EF2=（EC+CG）2+（sinα•CF）2，
∴EF2=（CE+cosα•CF）2+sin2α•CF2，
=CE2+2CE•CF•cosα+cos2α•CF2+sin2α•CF2，
=CE2+2CE•CF•cosα+（cos2α+sin2α）CF2．
∵sin2α+cos2α=1，
∴DE2=BD2+2cosα•BD•EC+EC2．
故答案为：DE2=BD2+2cosα•BD•EC+EC2．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，解答时证明三角形全等和灵活运用三角函数值是关键．
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